aljabar boolean

Aljabar Boolean

 Aljabar Boole adalah salah satu aljabar yang berkaitan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logika.  Variabel-variabel dalam aljabar boole dinyatakan dengan huruf-huruf seperti : A, B, C, …, X, Y, Z.   Sedangkan dalam aljabar Boolean terdapat 3 operasi logika dasar yaitu : AND, OR dan NOT (Komplemen).

Sebuah fungsi Boolean adalah sebuah ekspresi aljabar yang dibentuk dengan variabel-variabel biner, simbol-simbol operasi logika, tanda kurung dan tanda “=”.   Untuk sebuah nilai yang diberikan pada variabel , fungsi Boolean dapat bernilai 1 atau 0.
Contoh fungsi Boolean :
f   =   X + Y ’ . Z

Fungsi f sama dengan 1 jika X = 1 atau jika kedua nilai Y ‘ dan Z = 1. 
f = 0 dalam hal lain.
Tetapi kita juga dapat menyatakan bahwa jika Y ‘ = 1, maka Y = 0, karena Y ‘ adalah komplemen dari Y.   Secara ekuivalen dapat dinyatakan bahwa :

f   =   1   
jika X = 1  atau  Y.Z = 0.1

Hubungan antar sebuah fungsi dengan variabel-variabel binernya dapat disajikan dalam bentuk sebuah Tabel Kebenaran (Truth Table). Untuk menyajikan sebuah fungsi dalam sebuah tabel kebenaran, kita membutuhkan sebuah daftar 2n kombinasi 1 dan 0 dari n buah variabel biner.
Contoh :  
f   =   X + Y ’ . Z
∑ variabel = 3 (X, Y’ dan Z)
2n  =   23   =   8  kombinasi 0 dan 1.
Aljabar adalah sistem aljabar pada suatu himpunan S dengan dua operasi yaitu penjumlahan ( + ) dan perkalian ( . ) yang didefinisikan pada himpunan tersebut.

Misalkan terdapat :
  • Dua operator biner: + dan ⋅
  • Sebuah operator uner: ’. 
  • B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, ⋅, dan ’ 
  • 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Clue :
(B, +, ⋅, ’)

Maka, disebut Aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington atau hukum-hukum berikut:

Hukum-Hukum Aljabar Boolean


1. Closure:
  • (i) a + b ∈ B 
  • (ii) a ⋅ b ∈ B 
2. Identitas: 
  • (i) a + 0 = a 
  • (ii) a ⋅ 1 = a
3. Idempoten: 
  • (i) a + a = a 
  • (ii) a ⋅ a = a
4. Komplemen:
  • (i) a + a’ = 1 
  • (ii) aa’ = 0
5. Dominansi: 
  • (i) a ⋅ 0 = 0
  • (ii) a + 1 = 1 
6. Involusi:
  • (i) (a’)’ = a
7. Penyerapan: 
  • (i) a + ab = a 
  • (ii) a(a + b) = a
8. Komutatif: 
  • (i) a + b = b + a 
  • (ii) ab = ba
9. Asosiatif:
  • (i) a + (b + c) = (a + b) + c 
  • (ii) a (b c) = (a b) c
10 Distributif:
  • (i) a + (b c) = (a + b) (a + c) 
  • (ii) a (b + c) = a b + a c
11. De Morgan: 
  • (i) (a + b)’ = a’b’ 
  • (ii) (ab)’ = a’ + b’
12. Hukum 0/1:
  • (i) 0’ = 1 
  • (ii) 1’ = 0

Contoh:
Buktikan (i) a + a’b = a + b dan (ii) a(a’ + b) = ab

Penyelesaian:
(i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan)
                 = a + (ab + a’b) (Asosiatif)
                 = a + (a + a’)b (Distributif)
                 = a + 1 • b (Komplemen)
                 = a + b (Identitas)

(ii) adalah dual dari (i)

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

RANGKUMAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

Gambar
Cara Menghitung Permutasi dan Kombinasi Notasi Angka Faktorial Notasi angka n faktorial dilambangkan dengan n! menyatakan bilangan perkalian  n  x  (n-1)  x  (n-2)  x (n-2)  x  …  x  1 , Contohnya 7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5.040. Notasi ini digunakan dalam perhitungan permutasi dan kombinasi. Didefinisikan 0! = 1. Pengertian Permutasi Yang dimaksud permutasi  adalah banyaknya cara untuk membuat susunan dengan jumlah anggota tertentu dari anggota-anggota suatu himpunan. Rumus Permutasi Misalkan diketahui himpunan memiliki anggota sejumlah n, maka susunan terurut yang terdiri dari r buah anggota dinamakan  permutasi r dari n , ditulis sebagai  P(n,r)  dimana r lebih kecil atau sama dengan n. Rumus permutasi adalah sebagai berikut. Jika r = n, maka P(n,n) = n!     (ingat 0!=1) Contoh untuk menghitung banyaknya cara menyusun urutan dua huruf dari huruf-huruf a, b, c adalah sebagai berikut. Keenam cara tersebuat adalah: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Rumus Permutasi Jika terdapat An
Baca selengkapnya

RANGKUMAN HIMPUNAN

Rangkuman Materi Himpunan dalam Matematika A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Anggota himpunan disebut anggota atau elemen himpunan. Contoh: 1. A adalah himpunan nama kota di Jawa Tengah. Anggota himpunan A adalah Purwokerto, Semarang, Kebumen, Solo, dan lain-lainnya. 2. B adalah himpunan bilangan bulat lebih dari -3. Anggota himpunan B adalah bilangan -2,-1,0,1,2,3, ... B. Notasi Himpunan Penulisan himpunan ditandai dengan adanya kurung kurawal {}. Penulisan himpunan berkelanjutan dituliskan menggunakan tanda titik sebanyak tiga buah (...) untuk mengganti anggota himpunan lain yang tidak dapat dituliskan satu persatu. Anggota atau elemen suatu himpunan dinyatakan dengan notasi   Bila bukan anggota himpunan dinyatakan dengan notasi     . Misalkan A adalah suatu himpunan, maka bilangan yang menyatakan banyak anggota himpunan A disebut bilangan kardinal. Banyaknya anggota suatu himpunan A
Baca selengkapnya

RANGKUMAN RELASI DAN FUNGSI

Gambar
Pengertian Relasi Dalam Matematika Dalam teori himpunan , relasi menghubungkan dua buah himpunan dengan suatu hubungan tertentu. misalnya ada dua buah himpunan A dan himpunan B sehingga dapat dinyatakan bahwa relasi dari dua himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.  CARA MENYATAKAN RELASI Relasi dari dua himpunan A dan himpunan B dapat dinyatakan dengan 3 cara yaitu diagram panah, diagram cartesius dan himpunan pasangan berurutan.  DIAGRAM PANAH Anggota-anggota himpunan  P  berelasi dengan anggota himpunan  Q  dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah. DIAGRAM CARTESIUS Diagram kartesius merupakan diagram yang terdiri atas sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan  P  terletak pada sumbu x, sedangkan anggota himpunan  Q  terletak pada sumbu y.Relasi yang menghubungkan himpunan  P  dan  Q  ditunjukkan den
Baca selengkapnya