RANGKUMAN HIMPUNAN

Rangkuman Materi Himpunan dalam Matematika

A. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Anggota himpunan disebut anggota atau elemen himpunan.

Contoh:

1. A adalah himpunan nama kota di Jawa Tengah. Anggota himpunan A adalah Purwokerto, Semarang, Kebumen, Solo, dan lain-lainnya.

2. B adalah himpunan bilangan bulat lebih dari -3. Anggota himpunan B adalah bilangan -2,-1,0,1,2,3, ...

B. Notasi Himpunan

Penulisan himpunan ditandai dengan adanya kurung kurawal {}. Penulisan himpunan berkelanjutan dituliskan menggunakan tanda titik sebanyak tiga buah (...) untuk mengganti anggota himpunan lain yang tidak dapat dituliskan satu persatu. Anggota atau elemen suatu himpunan dinyatakan dengan notasi 

Bila bukan anggota himpunan dinyatakan dengan notasi    .

Misalkan A adalah suatu himpunan, maka bilangan yang menyatakan banyak anggota himpunan A disebut bilangan kardinal. Banyaknya anggota suatu himpunan A dituliskan dengan n(A).

Misalnya, himpunan A = {1,2,3,4,5,6}, maka banyaknya himpunan A atau n(A) = 6.

C. Menyatakan Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu:

1. Deskripsi

Menyatakan suatu himpunan dengan kata-kata atau hanya menyebutkan sifat keanggotaannya saja.

Contoh:

A = {nama kota yang berawalan huruf B}

B = {bilangan asli kurang dari 10}

2. Tabulasi atau Roster

Menyatakan suatu himpunan dengan mendaftar anggota-anggotanya satu persatu.

Contoh:

A ={Bandung, Bogor, Banjar}

B = {1,2,3,4,5,6,7.8.9}

3. Rule

Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan.

Contoh:

D. Himpunan Bagian

Bilangan ada bermacam-macam. Diantaranya, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan genap, dan lain-lain. Dalam himpunan penulisan bilangan-bilangan tersebut sebagai berikut:

Himpunan bilangan asli dilambangkan A (R). Dengan demikian, A = {1,2,3,4,5,...}

Himpunan bilangan cacah dilambangkan C. Dengan demikian, C = {0,1,2,3,4,5,...}

Himpunan bilangan bulat dilambangkan B. Dengan demikian B ={...,-2,-1,0,1,2,...}

Himpunan bilangan prima adalah bilangan yang memiliki tepat dua faktor, yaitu satu dan bilangan itu sendiri. Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan P. Dengan demikian, P = {2,3,5,7,11,13,17,19, ...}

Himpunan bilangan genap dilambangkan G. Dengan demikian, G = {0,2,4,6,8,10, 12, ...}

E. Jenis-jenis Himpunan

Himpunan ada bermacam-macam. Misalnya, himpunan nol, himpunan kosong, himpunan berhingga, himpunan tak berhingga, himpunan sama, himpunan ekuivalen, dan himpunan semesta.

1. Himpunan bilangan asli

A = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

2. Himpunan bilangan cacah

C = { 0, 1, 2, 3, 4, .... }

3. Himpunan bilangan prima

P = { 2, 3, 5, 7, 11, .... }

4. Himpunan bilangan genap

G = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, .... }

5. Himpunan bilangan ganjil

G = { 1, 3, 5, 7, 9, .... }

6. Himpunan bilangan komposit (tersusun)

T = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, .... }

7. Himpunan tak hingga

A = { 1, 3, 5, 7, ..... }, (n)A = ∞ (jumlah anggota himpunan A adalah tak terhingga)

8. Himpunan berhingga

B = { 1, 3, 5, 7 }, (n)A = 4 (jumlah anggota himpunan B adalah sebanyak 4)

9. Himpunan bagian

A = {2, 3, 5 } dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Semua anggota himpuna A adalah merupakan anggota himpunan B. Sehingga dapat dikatakan bahwa; A bagian dari B, ditulis A c B atau B memuat A ditulis B ﬤ A

10. Himpunan semesta

Bila A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka beberpa himpunan semesta pembicaraan yang mungkin untuk A adalah;
S = { bilangan asli }
S = { bilangan cacah }
S = { bilangan kelipatan 2 }

11. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Jika himpunan K = {0}, himpunan K bukan merupakan himpunan kosong karena himpunan K mempunyai 1 anggota, yaitu bilangan 0.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

∅={ }

F.Kardinalitas

Kardinalitas adalah himpunan bilangan yang menunjukkan banyaknya Jumlah Anggota.

Himpunan Kardinalitas terdiri dari :

a.Himpunan Berhingga (finit) dan Himpunan Tak berhingga (infinit)

         Himpunan Berhingga (finit) adalah himpunan yang anggotanya berbatas.

         Contoh :

         A = {Himpunan bilangan genap < 10 }  => A = ( 2,4,6,8 }

         B = {Himpunan bilangan ganjil < 10 }   => B = { 1,3,5,7,9 }

b.Himpunan Tak Berhingga (infinit) adlah himpunan yang anggotanya berbatas.

        Contoh :

        A = { Himpunan bilangan genap }  =>  A = { 2,4,6,8,… }

        B = { Himpunan bilangan ganjil }  => B = { 1,3,5,7,9,… }

c.Himpunan Denumerable dan Himpunan Nondenumerable

   – Himpunan Denumerable adalah jika sebuah himpunan ekuivalen dengan Himpunan N yaitu Himpunan bilangan asli.

     Contoh :

     A = { Himpunan bilangan asli }  =>A = { 1,2,3,4,5,… }

   – Himpunan Nondenumberable adalah jika sebuah himpunan ekuivalen dengan himpunan R yaitu himpunan bilangan riil.

     Contoh :

     A = { Himpunan bilangan riil } =>A = { 1.01,1.001,1.0001,… }

d.Himpunan Countable dan Himpunan Uncountable

     –  Himpunan Countable jika himpunan itu merupakan himpunan finit atau denumberable.

        Contoh :

        Dalam kehidupan sehari-hari : Beras , Rambut (memiliki unit )

        Dalam bilangan : semua bilangan yang berbatas

    –  Himpunan Uncountable hika himpunan itu merupakan infinit atau nodumerable.

       Contoh :

       Dalam kehidupan sehari-hari : Air, Udara

       Dalam bilangan : bilangan rill